daniela manzini kuschnig' s weblog

Quella che segue è la prima di una serie di affascinanti lezioni sulla geometria dei frattali.

seconda lezione

terza lezione

quarta lezione

quinta lezione

sesta lezione

Ho pensato di radunare qui le sei lezioni, pur essendo accessibili su youtube.

Richiede tempo seguirle, ma si può fare un poco alla volta e ne vale senz'altro la pena.

Forse devi dargli del tempo, Giò. Sono normali video da youtube.

Questa meraviglia, l'ho rubata dal blog di ferni, spero non me ne voglia. :-)

Complimenti, Rose, per questo argomento che hai inserito. Non ho basi matematiche, ma  in questi frattali vedo concetti "filosofici". Un mondo affascinante che si avvicina e ci avvicina all'arte.

A questa cosa dovrò dedicare del tempo, con calma, perchè sembra molto interessante. Certo che anche la signora fernirosso ha una bella… testa. Cosa ci fa con le parole? Le frulla e poi le tira fuori diverse e multiformi.. E la zia Rose che ci si mette con l'inglese… che coraggio! Io per questa sera vi devo lasciare, bella gente! Non perdetevi nei frattali.

Trovo che la spiegazione che porto ora è la più semplice relativamente all'equazione di Mabdelbrot ed è interessante perchè da la spiegazione anche di un evento a cui non diamo peso ma che dice la vitalità.

Prima la spiegazione e poi la riflessione.

L’insieme di Mandelbrot è un luogo geometrico che si colloca al centro di una vasta distesa bidimensionale di numeri detta piano complesso e che soddisfa la legge di Mandelbrot (che esporremo successivamente). Quando si applica ripetutamente ai numeri una certa operazione, quelli all’esterno dell’insieme fuggono all’infinito, mentre quelli all’interno vanno alla deriva ondeggiando qua e là. Vicino al margine, le oscillazioni dei numeri segnano l’inizio dell’instabilità. Questo insieme prende il nome da Benoit B. Mandelbrot, ricercatore al Thomas J. Watson Research Center della IBM a Yorktown Heights, New york. Partendo dal suo lavoro sulle forme geometriche, Mandelbrot ha sviluppato un campo che ha chiamato geometria frattale, cioè lo studio matematico di forme con dimensione frazionaria. Un secondo merito da attribuire al grande Benoit è quello dell’aver definito questa geometria come “geometria della natura”. In particolare il confine dell’insieme di Mandelbrot è un frattale. In linea di principio si può effettuare uno zoom su qualsiasi parte dell’insieme e all’ingrandimento che si desidera: teoricamente l’ingrandimento che si può raggiungere utilizzando un calcolatore, è di molto superiore a quello necessario a risolvere il nucleo di un atomo. Guardando le immagini bisogna tenere presente che tutti i punti di colore diversi dal nero non appartengono all’insieme di Mandelbrot. La bellezza di queste immagini sta in gran parte nell’alone di colori assegnati ai punti in fuga. Se fosse necessario vedere l’insieme isolato, la sua immagine sarebbe affatto piacevole: l’insieme è coperto da filamenti e miniature di se stesso. In realtà nessuno dei mini Mandelbrot è una copia esatta dell’insieme genitore e nessuno di essi è uguale ad un altro. Ogni quadrato della regione di confine ne racchiude infinite di queste miniature, di cui nel migliore dei casi solo qualcuno è visibile con un ingrandimento scelto casualmente. L’insieme di Mandelbrot può essere così considerato l’oggetto più complesso della matematica.

La parola “complesso” qui viene usata con due significati: il significato comune è adeguato per descrivere l’insieme di Mandelbrot, ma c’è anche un significato più tecnico.

Si può ora presentare la formula chiave, formula che apre le porte all’insieme di Mandelbrot e porta l’ordine nel caos:

z=z^2 +c;                   qui z e c sono numeri complessi.

Z è uguale a z al quadrato più due

Ora rimane il problema di scegliere il valore iniziale di c e z. Una possibilità è dare sempre valore zero a z e scegliere valori diversi per c. Si continua così l’iterazione facendo variare sistematicamente c su una porzione del piano complesso: se il numero complesso fugge verso l’infinito, lo si colora di bianco, in caso contrario di nero. Le pareti di questa prigione virtuale assumono la forma dell’insieme di Mandelbrot. Seguendo invece la regola opposta, in cui teniamo fisso c e z diventa il punto che varia, l’insieme risultante appare assai diverso dall’ insieme di Mandelbrot e viene chiamato insieme di Julia: di questi insiemi ve ne sono a palate; per ciascun valore prefissato di c usato nella formula di iterazione, appare un diverso insieme di Julia. La bellezza dell’insieme di Mandelbrot è duplice: dove un osservatore casuale vede solo un groviglio di filamenti e di spirali nei pressi del confine dell’insieme, in realtà questi disegni codificano le varie forme del caos e dell’ordine. L’insieme è in stretto rapporto con la stabilità e il caos nei sistemi dinamici, rapporto stabilito attraverso alcuni insiemi a quello di Mandelbrot strettamente correlati, gli insiemi di Julia, dal nome del matematico francese Gaston Julia, il primo nel 1918 ad avere compiuto studi di questo genere mentre si trovava in un ospedale militare, convalescente per le ferite riportate durante la prima guerra mondiale. Quando si applica la formula a un punto iniziale z, la successione risultante, come abbiamo visto, può comportarsi in due modi diversi: può vagare senza limitazioni, allontanandosi verso l’infinito, oppure restare confinata in una certa regione del piano complesso. I punti liberi costituiscono il piano di fuga, mentre quelli che restano confinati formano l’insieme prigioniero. Se il punto di partenza z appartiene all’insieme prigioniero, esso genera una successione interna all’insieme, indipendentemente dal numero di iterazioni e la forma di questa “prigione” dipende solo dal valore di c. L’insieme di Julia separa l’insieme di fuga da quello prigioniero. Scrivendo un programma per visualizzare insiemi di Julia, si può notare che per ogni parametro c, l’immagine risultante è di due tipi: l’insieme può essere un unico insieme connesso, oppure può essere costituito da un numero infinito di punti non connessi e dispersi. Bisogna perciò tenere d’occhio la successione generata dalla solita formula con z=0: se questa successione non diverge verso l’infinito l’insieme di Julia è connesso. Questo avviene in quanto se il punto c scelto è all’interno dell’insieme di Mandelbrot, il corrispondente insieme di Julia risulta connesso, mentre se si sceglie c all’esterno dell’insieme di Mandelbrot, l’insieme di Julia risulterà non connesso. Per scrivere un programma per visionare questi insiemi, si usano certi algoritmi di base. Questi algoritmi hanno in comune il processo iterativo centrale, che dipende da un particolare teorema: se la dimensione di z iterato raggiunge 2, si perde nell’infinito senza possibilità di ritorno. Questo fatto distingue i punti esterni e quelli interni all’insieme. Solitamente si lasciano 100 iterazioni per raggiungere la dimensione 2. Quando invece si deve visionare una parte “zoommata” dell’insieme, invece che con 2, la grandezza di z viene confrontata con 100 o addirittura 1000. Una volta raggiunto 2, la grandezza aumenta molto rapidamente e raggiunge i sopraccitati valori molto velocemente e in poche iterazioni. Le velocità diverse con cui i vari iterati di z superano il valore di soglia, possono essere colorate con colori diversi. È con questa tecnica che si producono le varie e colorate immagini frattali che si vedono in giro, come quella del “cavalluccio” (qui sotto).

Ecco,ora si può fare una riflessione importante, vedendo la formula come una specie di cerch'io (cerco l'io) in cui, se mi muovo con valori anche infinitamente piccoli sotto la misura che corrisponde alla circo-ferenza, l'equazione si annulla immediatamente, se invece, anche per valori piccolissimi, si muove subito fuori della circoferenza, si amplifica assumendo valori infiniti:raggiunge l'immenso attraverso lo straordinariamente piccolo, l'infimo addirittura. Non è straordinario? Questa è creazione,ad ogni stante, per ognuno, se solo lo vuole, se solo si muove oltre il piccolo cerchietto dell'io,un circo che ferisce,fino a farlo morire asfittico. Bacio,ferni

Grazie, cara daniela. Sai che mi sarebbe piaciuto lavorare insieme a te su quelle fra(t)ta(g)lie. Tu, avresti avuto qualche idea su come rendere i giochi di parole di ferni?

OK, però la prox volta, giochiamo assieme, che è più bello.

Ci sono curve davvero complesse.

vi lascio l'ultimo anche se ci sono raccolte ancora da esplorare.